El Surgimiento de las Teorías No Euclidianas y su Influencia en la Filosofía de la Ciencia del Siglo XX

Resumen

El artículo describe de una forma breve el nacimiento de los dos grandes tipos de geometrías no euclidianas, durante el siglo XIX; la conmoción que provocó en el mundo matemático y la extensión a otras áreas de la ciencia basadas en el empirismo; la concepción de la Metamática como instrumento de formalización.

Con el fin de tener una visión conceptual de la influencia de las Geometrías no euclidianas en la filosofía de la ciencia del siglo XX, que abarque la historia, nacimiento e impacto, a continuación se muestra un mapa mental:

Antecedentes

Euclides de Alejandría ( 300 a.C) conocido por el libro Elementos pero autor de muchos otros temas como astronomía, música, óptica, mecánica, influenció en la historia de forma extraordinaria, porque sintetizó, resumió y sistematizó todo el conocimiento matemático previo y en particular a través de un método que echaba mano de la lógica axiomática.

Con el propósito de homologar los conceptos que se usarán a lo largo de este trabajo, se propone iniciar con las siguientes definiciones:

Axioma. Del griego axiöma “lo que parece justo”, derivado del verbo axióö, “yo estimo justo” y este de axios, “digno”. Es aquel postulado propositivo que por su propia dignidad, debe ser considerado verdadero. Principio intuitivo y evidente, que no necesita ser demostrado, constituye el fundamento de cualquier ciencia: es el punto de partida de demostración de los teoremas de un sistema.

Postulado. Es una proposición que en los sistemas lógicos axiomáticos se toma o se “pide” como punto de partida o principio para la demostración de teoremas. En la lógica hasta el siglo XIX se distinguía un postulado de un axioma en que este era considerado evidente y no derivado ni demostrado, mientras que los postulados no eran evidentes, ni demostrables, sino que se “postulaban”.

Teorema. Del griego theóréma, término matemático que designa cualquier proposición que sea demostrable, pues no es evidente, partiendo de otras proposiciones ( axiomas, postulados e incluso otros teoremas previamente demostrados); es cualquier proposición que se demuestre, al ser una consecuencia lógica de los axiomas.

Quinto postulado de Euclides. En el siglo VII a.C. los conocimientos de aritmética y geometría pasaron de Babilonia y Egipto a Grecia, donde fueron desarrollados por los filósofos materialistas Tales de Mileto, Demócrito, la escuela idealista de Pitágoras y sus sucesores. Pero la primera presentación sistemática de geometría y aritmética la realizó Euclides, en el siglo III a.C. con la compilación en “Los Elementos”. El merito fundamental está en la elegancia y la habilidad con la que ordenó el conocimiento de su época, dentro de una argumentación lógico-deductiva.

“Los Elementos” es una obra compuesta por trece libros, que reunían un total de 467 teoremas. En el libro I, se definen los términos fundamentales de punto, línea, superficie, ángulo, figura, etc. Euclides construye toda su geometría a partir de cinco postulados, estos se admiten sin demostración, pero como no son tan evidentes se pide que se acepten y por eso se postulan:
• Postulado 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.
• Postulado 2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.
• Postulado 3. Una circunferencia puede describirse como un centro y una distancia.
• Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
• Postulado 5. Si una recta que corte a otras dos, forma con estas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado que dicha suma de ángulos sea menor que dos ángulos rectos.

La imposibilidad de demostrar este postulado, convenció a muchos matemáticos sobre la posibilidad de construir geometrías no euclidianas. Pero fue hasta 1829, cuando Lobachevski publicaría la construcción de una geometría que contradecía el también conocido como postulado de las paralelas.

Geometría no euclidiana. Una geometría que no satisface el quinto postulado de la geometría euclidiana.

El quinto postulado ha sido controversial, incluso para Euclides, es diferente a los demás por que no se puede verificar empíricamente. Lo trascenderte del pensamiento matemático durante los siguientes dos mil años, fue que los matemáticos asumieron estos postulados como verdades incuestionables. El espacio real se consideró descrito por la geometría euclidiana. Los matemáticos realizaron dos tipos de esfuerzos para demostrar el quinto postulado, primero elaborar un postulado que fuera más evidente, segundo deducirlo a partir de los otros postulados y axiomas.

La revolución euclideoclasta.

El titulo de esta sección es cuestionable, ya que podría parafrasearse como “La revolución para la destrucción de la geometría euclidiana”, la cual como el mismo artículo menciona, únicamente se coloca en un contexto diferente, situándola como un tipo particular de geometría no euclidiana. De ninguna forma se ha destruido la geometría euclidiana y menos aún se han desechado sus fundamentos, el ajuste a sus definiciones es una consecuencia natural del desarrollo del conocimiento.

El Jesuita Gerolamo Saccheri, italiano nacido en 1667, en el afán de fortalecer la geometría euclidiana, inventó sin saberlo una nueva Geometría, publicada en el libro “Euclides libre de todo defecto” (1733), usando la reducción al absurdo para limitar las posibilidades de desarrollos geométricos alternativos. Sin embargo dado el arraigo y prestigio de Euclides, pasaron casi 100 años antes de que analizara seriamente la validez del quinto postulado.

El matemático Nicolai Ivanovic Lobatchevski desarrollo conscientemente una geometría no eucliadiana que publicó en 1829 en el Kazan Bulletin. A Esta geometría se le conoce como hiperbólica o geometría de Bolyai-Lobatchevski (Pangeometría 1855).

El matemático Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), logro hacer que la geometría no euclidiana fuera conocida, se basaba en abstracciones sobre superficies curvas, en su geometría no existen paralelas, pues todas las rectas intersectan.

Una influencia, es la definición de Geodésica, como generalización de “trayectoria mas corta entre dos puntos” en cualquiera de las geometrías: para la plana o espacial euclidiana la geodésica corresponde a la línea recta, para la geometría riemanniana es la parte de una circunferencia o una elipse, en la Bolyai-Lobatchevsky, es un segmento de hipérbola.

Las teorías no euclidianas y su influencia en la filosofía de la ciencia del siglo XX

Estas nuevas geometrías, se convirtieron rápidamente en el instrumento matemático para la elaboración de los fundamentos de otras ciencias, entre ellas: La Relatividad General se describió mediante una geometría riemanniana cuatridimensional.

La concepción de las matemáticas y los sistemas formales que lo usaron también cambiaron como causa de estas aportaciones, que combinados con otros desarrollos de la matemática y lógica, acabaron con la perspectiva restringida del sistema axiomático de la geometría.

Se incremento el rigor para reconstruir o replantear las bases antiguamente establecidas. Se analizaron cuidadosamente, el lenguaje, los axiomas y reglas.

La influencia de haber demostrado la existencia de teorías no euclidianas, genero una cris de confianza tal que las mentes mas brillantes de final del siglo XIX, se preocuparon por los fundamentos de las diferentes áreas de las matemáticas. Bertrand Rusell empirista, considera en oposición a Kant que los axiomas euclidianos son producto de las mediciones prácticas de nuestro espacio real, sin sospechar que pocos años después la Teoría General de la Relatividad afirmaría todo lo contrario, esto es, que nuestro espacio real es no-euclidiano.

La critica convencionalista, arremetió contra el apriorismo de Kant, y contra el empirismo. La visión intuicionista de la matemático, cedió el paso a dos nuevas concepciones, la lógica matemática y la línea formalista axiomática, influencia notablemente en la filosofía y en la tecnología.

Los trabajos de Peano y Frege, condujeron al desarrollo de novedosas notaciones, creando nuevos lenguajes simbólicos. Teniendo como consecuencia más fecunda la propia lógica en la filosofía analítica y la filosofía de la ciencia, la computación y las matemáticas.

Con estas aportaciones, se encontraron las ciencias formales, manipuladoras de signos o formas, lo que condujo al siglo XX a ser llamado el Siglo del Lenguaje.

Conclusiones

El artículo se encuentra redactado en un lenguaje cercano a todo tipo de lectores, aunque tiene la consecuencia de que los títulos de las secciones pueden generar una expectativa distinta al contenido. Contiene algunos descuidos sutiles, pero que al adentrarse en su contenido desenfocan el contexto, se mencionan dos relevantes:

Al ser un artículo cuyo elemento de estudio es la geometría, hicieron falta algunas representaciones gráficas como los que se encuentran en el Tratado Elementos de Euclides.

Es un contenido bastante completo para la longitud del artículo, se satisface el objetivo de mostrar cual ha sido la influencia de las geometrías no euclidianas en la filosofía de la ciencia en el Siglo XX, las relevantes se citan a continuación:
• Concepción del mundo continuo espacio-tiempo
• Teoría General de la relatividad de Einstein
• Nacimiento de la Metamatemática
• Nacimiento de dos nuevas concepciones lógica matemática y formalismo axiomático, las que influyeron en la filosofía, tecnología, economía y forma de vida del mundo.

Referencias

Filosofía. Vol. I: Filosofía Del Lenguaje, Lógica, Filosofía de la Ciencia y Metafísica.
Profesores de Enseñanza Secundaria. Temario para la preparación de oposiciones.

Matemáticas básicas para economistas
Sergio Monsalve
Universidad Nacional de Colombia

Geometrías No Euclidianas: Breve Historia de Una Gran Revolución Intelectual

Ángel Ruiz Zúñiga – Editorial de la Universidad de Costa Rica 1999